每日一题[1901]极坐标表示

若有且仅有一个正方形，其中心位于原点，且其四个顶点在曲线 $y=x^3+ax$ 上，则实数 $a$ 的值为_______．

答案    $-2\sqrt 2$．

解析    只需要考虑 $a<0$ 的情形（否则题中曲线只在一三象限，不符合题意）．根据三次函数的对称性，只需要找到一组点 $A(\theta:r)$（$r>0$，$\theta$ 为锐角）和 $B\left(\theta+\dfrac{\pi}2:r\right)$ 同时在曲线上，也即方程组

$$\begin{cases} (r\cos\theta)^3+ar\cos\theta=r\sin\theta,\\ \left(r\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)\right)^3+ar\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)=r\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right),\end{cases}\iff \begin{cases} r^2\cos^3\theta+a\cos\theta=\sin\theta,\\ r^2\sin^3\theta+a\sin\theta=-\cos\theta,\end{cases}$$ 有且只有一组符合要求的解．消去 $r$，整理得 $$a=\dfrac{\sin^4\theta+\cos^4\theta}{\sin^3\theta\cos\theta-\cos^3\theta\sin\theta}=-\dfrac{3+\cos4\theta}{\sin4\theta}\leqslant -\dfrac{\sqrt {9-1}\cdot \sqrt{1-\cos^24\theta}}{\sin 4\theta}=-2\sqrt 2,$$ 因此当 $a=-2\sqrt 2$ 时符合题意．

备注    也可以直接暴力求导：

$$a=\dfrac{1+\tan^4\theta}{\tan^3\theta-\tan\theta},$$ 设 $f(x)=\dfrac{1+x^4}{x^3-x}$（$0<x<1$），则其导函数 $$f'(x)=\dfrac{(x^2+1)\left(x^2-2+\sqrt{3}\right)\left(x^2-2-\sqrt 3\right)}{x^2(x^2-1)^2},$$ 于是当 $a$ 取 $f\left(\sqrt{2-\sqrt 3}\right)$ 时有唯一解，而 $$f\left(\sqrt{2-\sqrt 3}\right)=\dfrac{8-4\sqrt 3}{\dfrac{\sqrt 6-\sqrt 2}2\cdot \left(1-\sqrt 3\right)}=-2\sqrt 2,$$ 因此所求实数 $a$ 的值为 $-2\sqrt 2$． 另外，设 $t=\tan\theta$，则 $$a(t^3-t)=1+t^2\implies a\left(t-\dfrac 1t\right)=\left(t-\dfrac 1t\right)^2+2,$$ 于是 $$-a=\left(\dfrac1t-t\right)+\dfrac{1}{\dfrac 1t-t}\geqslant 2\sqrt 2,$$ 亦得．