每日一题[1899]等比放缩

已知正项数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=4$，$\ln a_{n+1}=\dfrac 1na_n^2-a_n+3$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．

1、求证：$a_n\geqslant 4n$．

2、求证：$\dfrac 16\leqslant \dfrac{1}{2+a_1}+\dfrac{1}{2+a_2}+\cdots+\dfrac{1}{2+a_n}\leqslant \dfrac 14$．

解析

1、原题可以用数学归纳法证明，事实上可以利用数学归纳法证明一个更强的结论 $a_n\geqslant 4n^2$，当 $n=1$ 时命题显然成立．假设当 $n=k$ 时命题成立，则当 $n=k+1$ 时，注意到右侧关于 $a_n$ 的二次函数对称轴位置，有

$$\ln a_{k+1}\geqslant\dfrac 1k\cdot (4k^2)^2-4k^2+3=16k^3-4k^2+3,$$ 因此 $$a_{k+1}\geqslant {\rm e}^{16k^3-4k^2+3}>1+(16k^3-4k^2+3)=16k^3-4k^2+4,$$ 而 $$16k^3-4k^2+4\geqslant 4(k+1)^2\Longleftarrow 2k^2\geqslant k+1,$$ 因此命题得证．

2、一方面，有

$$\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2+a_k}\geqslant \dfrac{1}{2+a_1}\geqslant \dfrac 16,$$ 因此左边不等式得证． 另一方面，有 $$a_{n+1}>1+\ln a_{n+1}\geqslant \dfrac 1n\cdot 4n\cdot a_n-a_n+4=3a_n+4,$$ 因此 $$\dfrac{2+a_{n}}{2+a_{n+1}}<\dfrac 13,$$ 从而 $$\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2+a_k}\leqslant \dfrac{\dfrac{1}{2+a_1}}{1-\dfrac 13}=\dfrac 14,$$ 命题得证．