每日一题[1888]分段讨论

已知函数 $f(x)=|x^2-4x|$，若关于 $x$ 的方程 $f(x)=m|x+1|-2$ 恰有 $4$ 个互异的实根，则实数 $m$ 的取值范围是_______．

答案    $\left(2,6\sqrt 3-2\right)\cup\left(6+2\sqrt 7,+\infty\right)$．

解析    方程 $f(x)=0$，即

$$\dfrac{|x^2-4x|+2}{|x+1|}=m,$$ 设左侧函数为 $g(x)$，则 $$g(x)=\begin{cases} \dfrac{x^2-4x+2}{-x-1},&x\leqslant -4,\\ \dfrac{-x^2+4x+2}{-x-1},&-4<x<-1,\\ \dfrac{x^2-4x+2}{x+1},&-1<x\leqslant 0,\\ \dfrac{-x^2+4x+2}{x+1},&0<x<4,\\ \dfrac{x^2-4x+2}{x+1},&x\geqslant 4,\end{cases}$$ 即 $$g(x)=\begin{cases} -x+5+\dfrac{7}{-x-1},&x\leqslant -4,\\ x-5+\dfrac{-3}{-x-1},&-4<x<-1,\\ x-5+\dfrac7{x+1},&-1<x\leqslant 0,\\ -x+5+\dfrac{-3}{x+1},&0<x<4,\\ x-5+\dfrac{7}{x+1},&x\geqslant 4,\end{cases}$$ 画出图象，如图．可得实数 $m$ 的取值范围是 $\left(2,6\sqrt 3-2\right)\cup\left(6+2\sqrt 7,+\infty\right)$．