每日一题[1897]零点判断

已知函数 $f(x)$ 为反比例函数，曲线 $g(x)=f(x)\cdot \cos x+b$ 在 $x=\dfrac{\pi}2$ 处的切线方程为 $y=-\dfrac{6}{\pi}x+2$．

1、求 $g(x)$ 的解析式．

2、判断函数 $F(x)=g(x)+1-\dfrac{3}{2\pi}$ 在区间 $(0,2\pi]$ 内的零点的个数，并证明．

解析

1、设 $f(x)=\dfrac{a}{x}$，则有\[g'(x)=\dfrac{-ax\sin x-a\cos x}{x^2},\]于是由 $g'\left(\dfrac{\pi}2\right)=-\dfrac{6}{\pi}$，$g\left(\dfrac{\pi}2\right)=-1$，可得 $a=3$，$b=-1$．因此 $g(x)=\dfrac{3\cos x}x-1$．

2、即方程 $\dfrac{\cos x}{x}-\dfrac{1}{2\pi }=0$ 在 $(0,2\pi]$ 内的零点个数，设函数为 $h(x)$． 当 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 时，$h(x)$ 单调递减，考虑到当 $x=\min\left\{\dfrac{\pi}3,\dfrac 1{2m}\right\}$ 时，有\[\dfrac{\cos x}{x}\geqslant \dfrac{1}{2x}\geqslant m,\]其中 $m$ 是任意给定的正实数，且 $h\left(\dfrac{\pi}2\right)=-\dfrac{1}{2\pi}<0$，因此有一个零点． 当 $x\in \left[\dfrac{\pi}2,\dfrac{3\pi}2\right]$ 时，有 $h(x)<0$，没有零点． 当 $x\in \left(\dfrac{3\pi}2,2\pi\right]$ 时，有\[h'(x)=\dfrac{-\sin x\left(x+\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)}{x^2},\]注意到\[\left(x+\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)'=1-\dfrac{1}{\sin^2x}<0,\]于是 $h'(x)$ 先正后负，从而 $h(x)$ 先增后减．考虑到 $h(2\pi)=0$，因此函数 $h(x)$ 有极值点 $x_0\in \left(\dfrac{3\pi}2,2\pi\right)$，且 $h(x_0)>0$，又 $h\left(\dfrac{3\pi}2\right)<0$，因此函数 $h(x)$ 在 $\left(\dfrac{3\pi}2,2\pi\right]$ 上有 $2$ 个零点． 综上所述，函数 $F(x)$ 在区间 $(0,2\pi]$ 上有 $3$ 个零点．