每日一题[1886]几何意义

已知椭圆 $\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的上顶点为 $C(0,1)$，以 $C$ 为圆心，以 $\dfrac{4\sqrt 3}3$ 为半径的圆 $C$ 与椭圆 $\Gamma$ 恰好相切．

1、求椭圆 $\Gamma$ 的方程．

2、设点 $P$ 是圆 $C$ 上一点，过 $P$ 作椭圆 $\Gamma$ 的两条切线，与椭圆 $\Gamma$ 切于 $A,B$ 两点．当 $PA\perp PB$ 时，求点 $P$ 的坐标．

解析

1、考虑椭圆上一点 $T(x_0,y_0)$ 到点 $(0,1)$ 的距离 $d$ 满足

$$d^2=x_0^2+(y_0-1)^2=a^2(1-y_0^2)+(y_0-1)^2=(1-a^2)\left(y_0+\dfrac{1}{a^2-1}\right)^2+\dfrac{a^4}{a^2-1},$$ 于是 $$\dfrac{a^4}{a^2-1}=\dfrac{16}3\iff a^2=4.$$

2、根据椭圆的蒙日圆定义，$P$ 在圆 $x^2+y^2=5$ 上，因此

$$\begin{cases} x^2+y^2=5,\\ x^2+(y-1)^2=\dfrac{16}3,\end{cases}\iff \begin{cases} x^2=\dfrac{44}9,\\ y=\dfrac 13,\end{cases}$$ 因此点 $P$ 的坐标为 $\left(\pm\dfrac{2\sqrt{11}}3,\dfrac 13\right)$．