每日一题[1885]构造函数

设函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$（$a,b,c,d\in \mathbb{R}$ 且 $a\ne 0$），若 $0<2f(2)=3f(3)=4f(4)<1$，则 $f(1)+f(5)$ 的取值范围是（       ）

A．$\left(0,1\right)$

B．$\left(1,2\right)$

C．$\left(2,3\right)$

D．$\left(3,4\right)$

答案    A．

解析    设 $2f(2)=m$，则 $x=2,3,4$ 是方程 $xf(x)-m=0$ 的三个根，于是

$$xf(x)-m=a(x-2)(x-3)(x-4)\left(x+\dfrac{m}{24a}\right),$$ 因此 $$f(x)=\dfrac{a(x-2)(x-3)(x-4)\left(x+\dfrac{m}{24a}\right)+m}x,$$ 因此 $$f(1)+f(5)=\dfrac{-24a+3m}{4}+\dfrac{24a+m}4=m,$$ 其取值范围是 $(0,1)$．