每日一题[1874]考虑极端

若函数 $f(x)=(x+a)\big(|x+1-a|+|x-3|\big)-2x+4a$ 的图象有对称中心，则实数 $a=$ _______．

答案    $-\dfrac 23$

解析    当 $x$ 很大时，$f(x)=(x+a)(2x-2-a)-2x+4a$ 即

$$f(x)=2\left(x+\dfrac{a-4}4\right)^2-\dfrac{5a^2}4+4a-4,$$ 当 $x$ 很小时，$f(x)=-(x+a)(2x-2-a)-2x+4a$．即 $$f(x)=-2\left(x+\dfrac a4\right)^2+\dfrac{9a^2}8+6a,$$ 两条对称轴关于 $-\dfrac{a-2}4$ 对称，而函数 $f(x)$ 的不可导点 $x=a-1$ 和 $x=3$，关于 $\dfrac{a+2}2$ 对称，因此 $$-\dfrac{a-2}4=\dfrac{a+2}2\implies a=-\dfrac 23.$$

备注    当 $a=-\dfrac 23$ 时，有

$$f\left(\dfrac 23+x\right)=x\left(\left|x+\dfrac 73\right|+\left|x-\dfrac 73\right|\right)-\dfrac 43-2x-\dfrac 83,$$ 因此 $$f\left(\dfrac 23+x\right)+f\left(\dfrac 23-x\right)=-8,$$ 从而函数 $f(x)$ 关于 $\left(\dfrac 23,-4\right)$ 对称．