每日一题[1872]设计的巧合

已知 $x,y>0$，则 $\dfrac{2xy}{x^2+4y^2}+\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ 的最大值是______．

答案    $\dfrac{2\sqrt 2}3$．

解析    根据题意，有

$$m=\dfrac{2xy}{x^2+4y^2}+\dfrac{xy}{x^2+y^2}=\dfrac{3xy(x^2+2y^2)}{x^4+5x^2y^2+4y^4}=\dfrac{3\left(\dfrac xy+\dfrac{2y}x\right)}{\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{4y^2}{x^2}+5},$$ 令 $\dfrac xy+\dfrac{2y}x=t$，则 $t\geqslant 2\sqrt 2$ 且 $$m=\dfrac{3t}{t^2+1}=\dfrac{3}{t+\dfrac 1t}\leqslant \dfrac{3}{2\sqrt 2+\dfrac{1}{2\sqrt 2}}=\dfrac{2\sqrt 2}3,$$ 等号当 $x=\sqrt 2y$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{2\sqrt 2}3$．