每日一题[1869]寻找几何意义之二

已知 $0<x<y<z<\dfrac {\pi}2$ ，求证： $\dfrac{\pi}2+2\sin x\cos y+2\sin y\cos z>\sin 2x+\sin 2y+\sin 2z$ ．

解析

欲证不等式即

\cos z (\sin z - \sin y) + \cos y (\sin y - \sin x) + \cos x \sin x < \frac{π}{4},

$\cos z(\sin z-\sin y)+\cos y(\sin y-\sin x)+\cos x\sin x<\dfrac{\pi}4,$ 如图，设

A, B, C

$A,B,C$ 分别是

x, y, z

$x,y,z$ 的终边与单位圆的公共点，则左侧为三个矩形的面积和，右侧为

\frac{1}{4}

$\dfrac 14$ 圆的面积，命题得证．

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