每日一题[1869]寻找几何意义之二

已知 $0<x<y<z<\dfrac {\pi}2$，求证：$\dfrac{\pi}2+2\sin x\cos y+2\sin y\cos z>\sin 2x+\sin 2y+\sin 2z$．

解析

欲证不等式即 $$\cos z(\sin z-\sin y)+\cos y(\sin y-\sin x)+\cos x\sin x<\dfrac{\pi}4,$$ 如图，设 $A,B,C$ 分别是 $x,y,z$ 的终边与单位圆的公共点，则左侧为三个矩形的面积和，右侧为 $\dfrac 14$ 圆的面积，命题得证．