每日一题[1868]寻找几何意义之一

设 $\varphi(a,b)=\sqrt{(a-b)^2+\left(\ln a-\dfrac{b^2}4\right)^2}+\dfrac {b^2}4$，则 $\varphi(a,b)$ 的最小值为（       ）

A．$\sqrt 2-1$

B．$2-\sqrt 2$

C．$\dfrac{\sqrt 2}2$

D．$1$

答案    A．

解析    设 $P(a,\ln a)$，$Q\left(b,\dfrac{b^2}4\right)$，则 $P$ 在函数 $f(x)=\ln x$ 的图象上，$Q$ 在抛物线 $E:x^2=4y$ 上，设抛物线 $E$ 的焦点为 $F$，准线为 $l$，则 $$\varphi(a,b)=|PQ|+d(Q,l)-1=|PQ|+|QF|-1\geqslant |PF|-1.$$ 设 $P(x,\ln x)$，则 $$|PF|^2=x^2+(\ln x-1)^2,$$ 记右侧函数为 $g(x)$，则 $$g'(x)=\dfrac{2(x^2+\ln x-1)}x,$$ 考虑到分子部分单调递增，于是 $g(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值，也为最小值 $g(1)=2$，因此所求最小值为 $\sqrt 2-1$．