每日一题[1860]松弛有度

已知函数 $f(x)=\left|x+\dfrac 1x-a\right|$（$a\in\mathbb R$），若存在 $x_1,x_2,\cdots ,x_n\in\left[\dfrac 12,2\right]$，使得 $f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{n-1})=f(x_n)$ 成立的最大的正整数 $n$ 为 $6$，则 $a$ 的取值范围是_______．

答案    $\left[\dfrac{15}8,\dfrac{19}{10}\right)\cup\left(\dfrac{13}5,\dfrac{21}8\right]$．

解析    设函数 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac 12,2\right]$ 上的最小值为 $p$，最大值为 $q$，则 $f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{n-1})$ 的取值范围是 $[(n-1)p,(n-1)q]$，$f(x_n)$ 的取值范围是 $[p,q]$，题意两者交集不为空，即

$$(n-1)p\leqslant q,$$ 因此 $5p\leqslant q<6p$，而当 $x\in\left[\dfrac 12,2\right]$ 时，$x+\dfrac 1x$ 的取值范围是 $\left[2,\dfrac 52\right]$． 当 $2\leqslant a\leqslant \dfrac 52$ 时，$p=0$，不符合题意． 当 $a<2$ 或 $a>\dfrac 52$ 时，有 $q=p+\dfrac 12$，此时 $\dfrac{1}{10}<p\leqslant \dfrac{1}{8}$，此时 $a$ 的取值范围是 $\left[2-\dfrac 18,2-\dfrac{1}{10}\right)\cup\left(\dfrac 52+\dfrac 1{10},\dfrac 52+\dfrac 18\right]$，即 $\left[\dfrac{15}8,\dfrac{19}{10}\right)\cup\left(\dfrac{13}5,\dfrac{21}8\right]$．