每日一题[1851]累次求最值

已知 $O$ 为坐标原点，圆 $M:x^2+(y-1)^2=1$，圆 $N:x^2+(y+3)^2=9$，$A,B$ 分别为圆 $M$ 和圆 $N$ 上的动点，则 $\triangle OAB$ 的面积的最大值是_______．

答案    $\dfrac{9\sqrt 3}4$．

解析    设 $A(\cos \alpha,1+\sin\alpha)$，$B(3\cos\beta,-3+3\sin\beta)$，则 $\triangle OAB$ 的面积 $$\begin{split} S&=\dfrac 12\left|3\cos\beta(1+\sin\alpha)-\cos\alpha(-3+3\sin\beta)\right|\\ &=\dfrac 32\left|-\cos\alpha\sin\beta+(1+\sin\alpha)\cos\beta+\cos\alpha\right|\\ &\leqslant \dfrac 32\left(\sqrt{\cos^2\alpha+(1+\sin\alpha)^2}+|\cos\alpha|\right)\\ &=\dfrac32\left(\sqrt{2+2\sin\alpha}+\sqrt{1-\sin^2\alpha}\right),\end{split}$$ 令 $x=\sin\alpha$，则右侧括号内函数为 $$f(x)=\sqrt{2+2x}+\sqrt{1-x^2},$$ 其导函数 $$f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2+2x}}-\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}-1}},$$ 于是当 $2+2x=\dfrac{1}{x^2}-1$，即 $x=\dfrac 12$ 时，函数 $f(x)$ 取得极大值，也为最大值 $f\left(\dfrac 12\right)=\dfrac{3\sqrt 3}2$，进而所求最大值为 $\dfrac{9\sqrt 3}4$．