每日一题[1849]对称换元

已知实数 $x,y$ 满足 $x^2+xy+y^2=6$，求 $x^2y+xy^2-x^2-2xy-y^2+x+y$ 的取值范围．

答案    $\left[-8-6\sqrt 2,3\right]$．

解析    设 $x+y=2m$，$x-y=2n$，则条件变为 $3m^2+n^2=6$，所求代数式记为 $A$，则

$$A=-2mn^2+2m^3-4m^2+2m=8m^3-4m^2-10m,$$ 其中 $-\sqrt 2\leqslant m\leqslant \sqrt 2$．设右侧函数为 $f(m)$，则其导函数 $$f'(m)=24m^2-8m-10=2(2m+1)(6m-5),$$ 因此 $$\begin{array}{c|cccc}\hline m&-\sqrt 2&-\dfrac 12&\dfrac 56&\sqrt 2\\ \hline f(m)&-8-6\sqrt 2&3&-\dfrac{175}{27}&-8+6\sqrt 2\\ \hline \end{array}$$ 因此所求取值范围是 $\left[-8-6\sqrt 2,3\right]$．