每日一题[1827]分拆

设正整数 $a,b,cd$ 满足 $a>b>c>d$ 且 $ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$，证明：$ab+cd$ 不是素数．

解析    设 $\alpha=b+d+a-c$，$\beta=b+d-a+c$，则 $$\alpha\beta=a(b+d+a-\alpha)+bd=(a+b)(a+d)-a\alpha,$$ 于是 $\alpha\mid (a+b)(a+d)$．又 $\alpha<a+b<2\alpha$，于是 $\alpha$ 与 $a+d$ 有公因数，设为 $p_1$，则 $$b-c=-(a+d)+\alpha\implies p_1\mid b-c,$$ 从而 $$ab+cd=b(a+d)-d(b-c)\implies p_1\mid ab+cd,$$ 又 $p_1\leqslant a+d<ab+cd$，于是 $ab+cd$ 是合数．设 $\alpha=b+d+a-c$，$\beta=b+d-a+c$，则 $$\alpha\beta=a(b+d+a-\alpha)+bd=(a+b)(a+d)-a\alpha,$$ 于是 $\alpha\mid (a+b)(a+d)$．又 $\alpha<a+b<2\alpha$，于是 $\alpha$ 与 $a+d$ 有公因数，设为 $p_1$，则 $$b-c=-(a+d)+\alpha\implies p_1\mid b-c,$$ 从而 $$ab+cd=b(a+d)-d(b-c)\implies p_1\mid ab+cd,$$ 又 $p_1\leqslant a+d<ab+cd$，于是 $ab+cd$ 是合数．

备注    事实上，$ac+bd$ 和 $ad+bc$ 也是合数，证明如下： 由 $\alpha\beta=ac+bd>a+b>\alpha$ 可得 $ac+bd$ 是合数． 由 $\alpha<a+d$，结合 $\alpha\mid (a+b)(a+d)$ 可得 $\alpha$ 与 $a+b$ 有公因数，设为 $p_2$，则 $$c-d=a+b-\alpha\implies p_2\mid c-d,$$ 从而 $$ad+bc=d(a+b)+b(c-d)\implies p_2\mid ad+bc,$$ 又 $p_2\leqslant a+b<ad+bc$，于是 $ad+bc$ 是合数．