今天的试题为2010年江西省高考理科数学压轴题：
证明以下命题：
（1）对任意正整数a，都存在正整数b,c(b<c)，使得a2,b2,c2成等差数列；
（2）存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长an,bn,cn为正整数，且a2n,b2n,c2n成等差数列．
证明 （1）根据题意有2b2−c2=a2,事实上，只需要寻找方程x2−2y2=−1的一组特解(x,y)，然后令(a,b,c)=(a,ya,xa)即可．由于√2≈1.414={1,2,2,2,2,5}，于是不难得到不定方程x2−2y2=−1的基本解(7,5)．因此对任意正整数a，都存在正整数b=7a，c=5a，使得a2,b2,c2成等差数列．
（2）根据题意，有四个任务要求，分别为“无穷多个”、“互不相似”、“三角形”、“正整数”．其中，“无穷多个”要求我们构造无穷数列an、bn、cn；“互不相似”要求构造无穷数列的方法不能采用第1小题这种按比例放大的方式；“三角形”要求∀n,an+bn>cn；“正整数”要求∀n,an,bn,cn∈N∗．
为了能够满足第三、四个要求，我们推测an,bn,cn为关于n的齐次多项式，且最高项系数一致．
先从一次多项式开始试探，设{an=n+α,bn=n+β,cn=n+γ,那么根据题意(bn+an)(bn−an)=(cn+bn)(cn−bn),于是(2n+α+β)(β−α)=(2n+β+γ)(γ−β),比较系数可知{β−α=γ−β,α+β=β+γ,进而可得α=β=γ,这不可能．
接下来从二次多项式开始试探，此时由于待定系数过多不适合继续直接用待定系数法处理．从之前的分析中，我们可以知道此时等式(bn+an)(bn−an)=(cn+bn)(cn−bn)两边必然是类似于2(n+α)(n+β)⏟bn+an⋅(2n+2γ)=(2n+2α)⋅2(n+β)(n+γ)⏟cn+bn的形式，其中α<γ，且α,β,γ∈Q．于是{an+bn=2n2+2(α+β)n+2αβ,bn+cn=2n2+2(β+γ)+2βγ,bn−an=2n+2γ,cn−bn=2n+2α,解得{an=n2+(α+β−1)n+αβ−γ,bn=n2+(α+β+1)n+αβ+γ=n2+(β+γ−1)n+βγ−α,cn=n2+(β+γ+1)n+βγ+α,于是可得β=α+1,γ=α+2,于是可以取α=−1,β=0,γ=1,从而可得{an=n2−2n+1,bn=n2+1,cn=n2+2n−1,考虑到构造三角形的要求，令n⩾5且n∈N∗即可．
最后用反证法证明这个构造得到的三角形互不相似．事实上，注意到∀n∈N∗,2bn−an−cn=2,因此若存在p,q∈N∗且p<q使得apaq=bpbq=cpcq<1,则根据合分比定理，有相似比同时等于2bp−ap−cp2bq−aq−cq=1,矛盾．
综上，原命题得证．
注 若第2小问取消“三角形”的限制，那么还可以利用第1小问构造．对于不定方程x2−2y2=−1,可以取xn+yn√2=(7+5√2)2n−1,其中xn,yn∈N∗,n∈N∗．相关的知识可以参考佩尔方程．
2016年10月18补充新解法：
考虑不定方程x2+z2=2y2，其中x,y,z均为整数，即(x+y)(x−y)=(y+z)(y−z),于是可设(这是一种比较简单的特殊情形){x+y=pq⋅(y+z),x−y=qp⋅(y−z),其中p,q均为整数，则解得{x=p2+2pq−q2,y=p2+q2,z=p2−2pq−q2,这样就得到了整数解(x,y,z)．
(1) 取q=1，p=2，则得到解(7,5,1)，于是(a,5a,7a)也是方程的解，因此原命题得证．
(2) 不妨设q=1，则x>y>z，当y+z>x，即p2−4p+1>0，也即p⩾4时，x,y,z是某个三角形的三边长，于是取p=n+3，则{an=n2+8n+14,bn=n2+6n+10,cn=n2+4n+2.由于2bn−an−cn=4为常数，而an,bn,cn均随着n的增大而增大，因此它们构成的三角形△n互不相似，符合题意．因此原命题得证．
注 由于(a+c2)2+(a−c2)2=b2，而我们熟知勾股数的通解p2+q2,p2−q2,2pq,于是解方程即得．
若是二次多项式，左右两边为什么是那种形式，感觉有点突然，能否再详细解释一下？
因为an、bn、cn的最高项系数一致，简单起见先设为1．
我有一种直觉化的做法，利用类似“积化和差”把且a2+c2=2b2 化为勾股定理形式(a+c2)2+(a−c2)2=b2,剩下的就是万能公式的事了。
和万能公式的关系是？另外如何保证“整数”？
唔，公式编辑似乎出了一点问题。
我想说的是，(a+c2)2+(a−c2)2=b2
这显然是以a+c2、a−c2、b为三边的RT三角形
我们都知道，对于一个RT三角形的三边，总是可以写作1+tan2θ、1−tan2θ和2tanθ的
我们不妨让tanθ=mn为一个有理数
这样我们就得到方程组：\begin{cases}\dfrac{a+c}2=m²-n²,\\\dfrac{a-c}2=2mn,\\b=m²+n².\end{cases}
（上述方程组中分母的m²我略去了，反正是等比例的）
解之，令n=1，就可以得到a=m²+2m-1，c=m²-2m-1，b=m²+1
这样就比上面的待定系数要简单多了。
很精彩的做法！
哈哈哈，谢谢老师称赞。我经常来您的网站学习，每次都受益匪浅。
第一问过程中有些小错误，包括x,y的顺序，以及\sqrt 2
没有吧，右边是“-1”，另外根号2那个是连分数展开．