每日一题[1818]借坡下驴

有限数列 ${A_n}:{a_1},{a_2}, \cdot \cdot \cdot ,{a_n}$（$n \geqslant 3$）同时满足下列两个条件： ① 对于任意的 $i,j$（$1 \leqslant i < j \leqslant n$），${a_i} < {a_j}$； ② 对于任意的 $i,j,k$（$1 \leqslant i < j < k \leqslant n$），${a_i}{a_j}$，${a_j}{a_k}$，${a_i}{a_k}$ 三个数中至少有一个数是数列 ${A_n}$ 中的项．

1、若 $n = 4$，且 ${a_1} = 1$，${a_2} = 2$，${a_3} = a$，${a_4} = 6$，求 $a$ 的值．

2、证明：$2,3,5$ 不可能是数列 ${A_n}$ 中的项．

3、求 $n$ 的最大值．

解析

1、根据题意，$2a,12,6a$ 中至少有一个是数列的项，而 $2<a<6$，于是 $a=3$．

2、若 $2,3,5$ 是数列 $A_n$ 中的项，那么 $A_n$ 中必然包含 $6,10,15$ 中的至少一个，因此数列 $A_n$ 中含有至少 $4$ 个大于 $1$ 的数．接下来证明，数列 $A_n$ 中至多有 $3$ 个大于 $1$ 的数．否则，考虑数列中最大的 $4$ 个数，有 $a_n>a_{n-1}>a_{n-2}>a_{n-3}>1$，此时 $a_{n-1}a_{n-2}$ 与 $a_{n-1}a_{n-3}$ 均大于 $a_{n-1}$，因此有

$$a_{n-1}a_{n-2}=a_{n-1}a_{n-3}=a_n\implies a_{n-2}=a_{n-3},$$ 矛盾． 综上所述，原命题得证．

3、利用第 $(2)$ 小题的证明方法，可以证明数列 $A_n$ 中至多有 $3$ 个绝对值大于 $1$ 的数，同时，至多有 $3$ 个绝对值小于 $1$ 且不为零的数．再加上绝对值为 $1$ 的数和 $0$，数列 $A_n$ 中至多有 $9$ 个数．接下来给出 $9$ 个数的例子：

$$A_9:-4,-2,-1,-\dfrac 12,-\dfrac14,0,\dfrac 12,1,2.$$ 综上所述，$n$ 的最大值为 $9$．