每日一题[1815]数值估计

不大于 $\dfrac{3^{100}+2^{100}}{3^{96}+2^{96}}$ 的最大整数为_______．

答案    $80$．

解析    根据题意，有

$$\dfrac{3^{100}+2^{100}}{3^{96}+2^{96}}=\dfrac{3^4+\left(\dfrac 23\right)^{96}\cdot 2^4}{1+\left(\dfrac 23\right)^{96}}<3^4,$$ 而 $$\dfrac{3^4+\left(\dfrac 23\right)^{96}\cdot 2^4}{1+\left(\dfrac 23\right)^{96}}>3^4-1\Longleftarrow \left(\dfrac 23\right)^{96}<\dfrac 1{64}\Longleftarrow \left(\dfrac 23\right)^{16}<\dfrac 12,$$ 事实上 $\left(\dfrac 23\right)^{16}=\left(\dfrac 49\right)^8<\dfrac 1{2^8}$，不等式成立． 综上所述，所求整数为 $80$．