满足 $x^2+7y^2=2011$ 的正整数对 $(x,y)=$ _______．
答案 $(38,9)$．
解析 由于 $2011\equiv 3\pmod 4$，于是 $y$ 为奇数，$x$ 为偶数．又 $2011\equiv 2\pmod 7$，于是 $x^2\equiv 2\pmod 7$，进而 $x\equiv \pm 3\pmod 7$，设 $x=7k\pm 3$，$k\in\mathbb N^{\ast}$，则\[y^2=286-7k^2\pm 6k,\]只需要验证 $k=1,3,5$ 的情形．经验证，只有 $k=5$ 时，$(x,y)=(38,9)$ 符合题意．因此所求 $(x,y)=(38,9)$．