已知 f(x)=ex−x−1(e 为自然对数的底数).
1、求证:f(x)⩾0 恒成立.
2、求证:(12n)n+(32n)n+(52n)n+⋯+(2n−12n)n<√ee−1 对一切正整数 n 均成立.
解析
1、即导数中的基本放缩.
2、注意到右边√ee−1=e−121−e−1>n∑k=1e12−k,结合左侧各项的大小顺序,尝试证明(1−2k−12n)n⩽e12−k⟺1−2k−12n⩽e−2k−12n,根据第 (1) 小题的结果,命题得证.
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