每日一题[1795]约束与规划

已知二次函数 f(x)=ax2+2bx+cc>b>a),其图象过点 (1,0),并与直线 y=a 有公共点.求证:0

解析    根据题意,有 f(1)=0 且方程 f(x)+a=0 有解,即\begin{cases} a+2b+c=0,\\ 4b^2-4a(c+a)\geqslant 0,\end{cases}\iff \begin{cases} c=-a-2b,\\ b(b+2a)\geqslant 0,\end{cases}因此点 (a,b) 的约束条件为\begin{cases} -a-2b>b>a,\\ b(b+2a)\geqslant 0,\end{cases}\iff \begin{cases} a<b<-\dfrac 13a,\\ b\leqslant 0 \lor b\geqslant -2a,\end{cases}进而可得 0\leqslant \dfrac ba<1,命题得证.

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