已知正整数 x,y,z 满足条件 xyz=(14−x)(14−y)(14−z),且 x+y+z<28,则 x2+y2+z2 的最大值为_______.
答案 219.
解析 不妨设 (x,y,z)=(7+a,7+b,7+c),a,b,c∈Z,且{−6⩽a,b,c⩽6,a+b+c⩽6,
则xyz=(14−x)(14−y)(14−z)⟺(7+a)(7+b)(7+c)=(7−a)(7−b)(7−c),
展开整理得49(a+b+c)=−abc,
由于左侧能被 72 整除,而 −6⩽a,b,c⩽6,于是 a,b,c 中至少有一个为 0,不妨设为 a.进而 b+c=0,此时x2+y2+z2=147+b2+c2⩽147+62+(−6)2=219,
等号当 |b|=|c|=6 时取得,因此所求最大值为 219.
精彩啊!!!!!
牛