每日一题[1791]对称换元

已知正整数 x,y,z 满足条件 xyz=(14x)(14y)(14z),且 x+y+z<28,则 x2+y2+z2 的最大值为_______.

答案    219

解析    不妨设 (x,y,z)=(7+a,7+b,7+c)a,b,cZ,且{6a,b,c6,a+b+c6,

xyz=(14x)(14y)(14z)(7+a)(7+b)(7+c)=(7a)(7b)(7c),
展开整理得49(a+b+c)=abc,
由于左侧能被 72 整除,而 6a,b,c6,于是 a,b,c 中至少有一个为 0,不妨设为 a.进而 b+c=0,此时x2+y2+z2=147+b2+c2147+62+(6)2=219,
等号当 |b|=|c|=6 时取得,因此所求最大值为 219

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每日一题[1791]对称换元》有2条回应

  1. jiangshuidl说:

    精彩啊!!!!!

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