每日一题[1789]一决胜负

甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得 $1$ 分，负者得 $0$ 分；当其中一人的得分比另一人的多 $2$ 分时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过 $20$ 次，即经 $20$ 次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局．已知每次比赛甲获胜的概率为 $p$（$0<p<1$），乙获胜的概率为 $q=1-p$．假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经 $\xi$ 次结束，求 $\xi$ 的期望 $E(\xi)$ 的变化范围．

答案    $\left(2,\dfrac{1023}{256}\right]$．

解析    以 $p(\xi=k)$ 记比赛经 $k$ 次结束的概率，若 $k$ 为奇数，则甲乙得分之差亦为奇数，因而有 $p(\xi=k)=0$．考虑连续两次比赛的结果：

情形一    甲连胜或乙连胜两次，称为有胜负的两次，此结果出现的概率为 $p^2+q^2$；

情形二    甲乙各胜一次，称为无胜负的两次，此结果有两种情况，故出现的概率为 $2pq$． 比赛经 $k$ 次结束，$k$ 必为偶数，则 $1,2$ 两次，$3,4$ 两次，$\cdots$，$k-3,k-2$ 两次均未分胜负．若 $k\ne 20$，则第 $k-1,k$ 为有胜负的两次，从而有

$$p(\xi=k)=(2pq)^{\frac k2-1}(p^2+q^2).$$ 综上所述，有 $$E(\xi)=(p^2+q^2)\sum\limits_{i=1}^9{2i(2pq)^{i-1}}+20(2pq)^9,$$ 令 $x=2pq$，则 $p^2+q^2=1-x$，所以 $$\begin{split} E(\xi)&=(1-x)\sum\limits_{i=1}^9{2ix^{i-1}}+20x^9\\ &=2(1-x)\left(\sum_{i=1}^9x^i\right)'+20x^9,\\ &=2(1-x)\left(\dfrac{x(1-x^9)}{1-x}\right)'+20x^9\\ &=\dfrac{2(1-x^{10})}{1-x},\end{split}$$ 而 $x$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 12\right]$，因此所求取值范围是 $\left(2,\dfrac{1023}{256}\right]$．