每日一题[1789]一决胜负

甲乙两人进行某种游戏比赛,规定每一次胜者得 1 分,负者得 0 分;当其中一人的得分比另一人的多 2 分时即赢得这场游戏,比赛随之结束;同时规定比赛次数最多不超过 20 次,即经 20 次比赛,得分多者赢得这场游戏,得分相等为和局.已知每次比赛甲获胜的概率为 p0<p<1),乙获胜的概率为 q=1p.假定各次比赛的结果是相互独立的,比赛经 ξ 次结束,求 ξ 的期望 E(ξ) 的变化范围.

答案    (2,1023256]

解析    以 p(ξ=k) 记比赛经 k 次结束的概率,若 k 为奇数,则甲乙得分之差亦为奇数,因而有 p(ξ=k)=0.考虑连续两次比赛的结果:

情形一    甲连胜或乙连胜两次,称为有胜负的两次,此结果出现的概率为 p2+q2

情形二    甲乙各胜一次,称为无胜负的两次,此结果有两种情况,故出现的概率为 2pq. 比赛经 k 次结束,k 必为偶数,则 1,2 两次,3,4 两次,k3,k2 两次均未分胜负.若 k20,则第 k1,k 为有胜负的两次,从而有p(ξ=k)=(2pq)k21(p2+q2).综上所述,有E(ξ)=(p2+q2)9i=12i(2pq)i1+20(2pq)9,x=2pq,则 p2+q2=1x,所以E(ξ)=(1x)9i=12ixi1+20x9=2(1x)(9i=1xi)+20x9,=2(1x)(x(1x9)1x)+20x9=2(1x10)1x,x 的取值范围是 (0,12],因此所求取值范围是 (2,1023256]

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