甲乙两人进行某种游戏比赛,规定每一次胜者得 1 分,负者得 0 分;当其中一人的得分比另一人的多 2 分时即赢得这场游戏,比赛随之结束;同时规定比赛次数最多不超过 20 次,即经 20 次比赛,得分多者赢得这场游戏,得分相等为和局.已知每次比赛甲获胜的概率为 p(0<p<1),乙获胜的概率为 q=1−p.假定各次比赛的结果是相互独立的,比赛经 ξ 次结束,求 ξ 的期望 E(ξ) 的变化范围.
答案 (2,1023256].
解析 以 p(ξ=k) 记比赛经 k 次结束的概率,若 k 为奇数,则甲乙得分之差亦为奇数,因而有 p(ξ=k)=0.考虑连续两次比赛的结果:
情形一 甲连胜或乙连胜两次,称为有胜负的两次,此结果出现的概率为 p2+q2;
情形二 甲乙各胜一次,称为无胜负的两次,此结果有两种情况,故出现的概率为 2pq. 比赛经 k 次结束,k 必为偶数,则 1,2 两次,3,4 两次,⋯,k−3,k−2 两次均未分胜负.若 k≠20,则第 k−1,k 为有胜负的两次,从而有p(ξ=k)=(2pq)k2−1(p2+q2).综上所述,有E(ξ)=(p2+q2)9∑i=12i(2pq)i−1+20(2pq)9, 令 x=2pq,则 p2+q2=1−x,所以E(ξ)=(1−x)9∑i=12ixi−1+20x9=2(1−x)(9∑i=1xi)′+20x9,=2(1−x)(x(1−x9)1−x)′+20x9=2(1−x10)1−x,而 x 的取值范围是 (0,12],因此所求取值范围是 (2,1023256].