每日一题[1774]抓“公比“

设非零复数 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 满足

$$\begin{cases} \dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac{a_4}{a_3}=\dfrac{a_5}{a_4},\\ a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=4\left(\dfrac 1{a_1}+\dfrac 1{a_2}+\dfrac 1{a_3}+\dfrac 1{a_4}+\dfrac 1{a_5}\right)=S,\end{cases}$$ 其中 $S$ 为实数且 $|S|\leqslant 2$．求证：复数 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 在复平面上所对应的点位于同一圆周上．

解析    设 $a_2=a_1\cdot q$，则 $a_3=a_1\cdot q^2$，$a_4=a_1\cdot q^3$，$a_5=a_1\cdot q^4$，问题转化为证明 $|q|=1$．根据题意，有

$$a_1\left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)=\dfrac4{a_1q^4}\left(1+q+q^2+q^3+q^4\right),$$ 即 $$\left(a_1q^2+2\right)\left(a_1q^2-2\right)\left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)=0.$$ [[case]]情形一[[/case]] $1+q+q^2+q^3+q^4=0$．此时 $$\dfrac{1-q^5}{1-q}=0\implies |q|=1,$$ 命题得证． [[case]]情形二[[/case]] $a_1q^2=\pm 2$．此时 $$\dfrac1{q^2}+\dfrac1q+1+q+q^2=\dfrac{S}{a_3},$$ 即 $$\left(q+\dfrac 1q\right)^2+\left(q+\dfrac1q\right)-1\mp\dfrac{S}2=0,$$ 由于 $|S|\leqslant 2$，该关于 $q+\dfrac 1q$ 的二次方程有 $2$ 个在 $[-2,2]$ 内的实根，设 $q=(\theta:r)$，则 $$q+\dfrac 1q\in [-2,2]\iff \left(r-\dfrac 1r\right)\sin\theta=0\implies \begin{cases} \left(r+\dfrac 1r\right)\cos\theta\in [-2,2],\\ \left(r-\dfrac 1r\right)\sin\theta=0,\end{cases}\implies r=1,$$ 命题得证． 综上所述，有 $|q|=1$，命题得证．