每日一题[1773]寻寻觅觅

设双曲线 $xy=1$ 的两支为 $C_1,C_2$，其中 $C_1$ 位于第一象限，$C_2$ 位于第三象限，正 $\triangle PQR$ 的三顶点位于此双曲线上．

1、求证：$P,Q,R$ 不能都在双曲线的同一支上．

2、设 $P(-1,-1)$ 在 $C_2$ 上，$Q,R$ 在 $C_1$ 上，求顶点 $Q,R$ 的坐标．

解析

1、不妨设 $P,Q,R$ 的横坐标依次递增，则直线 $PQ$ 和直线 $QR$ 的斜率均为负数，因此 $\angle PQR$ 为钝角，因此 $P,Q,R$ 不能都在双曲线的同一支上．

2、不妨设 $\triangle PQR$ 的边长为 $a$（$a>2\sqrt 2$），$PQ$ 和 $PR$ 的倾斜角分别为 $\theta_1$ 和 $\theta_2$（$\theta_1<\theta_2$），则

$$(-1+a\cos\theta_1)(-1+a\sin\theta_1)=(-1+a\cos\theta_2)(-1+a\sin\theta_2)=1,$$ 设函数 $f(x)=(-1+a\cos x)(-1+a\sin x)$，$x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，其导函 $$f'(x)=a(\cos x-\sin x)(a\cos x+a\sin x-1),$$ 于是函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}4\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递减，又 $f(x)$ 关于 $x=\dfrac{\pi}4$ 对称，因此 $\theta_1+\theta_2=\dfrac{\pi}2$，进而 $\theta_1=\dfrac{\pi}{12}$，$\theta_2=\dfrac{5\pi}{12}$．此时 $$\left(-1+a\cos\dfrac{\pi}{12}\right)\left(-1+a\sin\dfrac{5\pi}{12}\right)=1,$$ 即 $$\dfrac 12a^2\sin\dfrac{5\pi}{6}-2a\sin\dfrac{\pi}4\cos\dfrac{\pi}6=0,$$ 解得 $a=2\sqrt 6$，进而 $Q\left(-1+2\sqrt 6\cos\dfrac{\pi}{12},-1+2\sqrt 6\sin\dfrac{\pi}{12}\right)$，即 $Q\left(2+\sqrt3,2-\sqrt 3\right)$，因此 $R\left(2-\sqrt 3,2+\sqrt 3\right)$．