已知抛物线 $y^2=2px$ 及定点 $A(a,b)$，$B(-a,0)$（$ab\ne 0$，$b^2\ne 2pa$），$M$ 是抛物线上的点，设直线 $AM,BM$ 与抛物线的另一交点分别为 $M_1,M_2$，求证：当点 $M$ 在抛物线上变动时（只要 $M_1,M_2$ 存在且 $M_1\ne M_2$），直线 $M_1M_2$ 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．
答案 定点为 $\left(a,\dfrac{2pa}b\right)$．
解析 设 $M(2pm^2,2pm)$，$M_1(2pt_1^2,2pt_1)$，$M_2(2pt_2^2,2pt_2)$，则\[MM_1:x-(m+t_1)y+2pmt_1=0,\]该直线过点 $A(a,b)$，于是\[t_1=\dfrac{a-mb}{b-2pm},\]类似的（只要将 $b$ 换成 $0$，将 $a$ 换成 $-a$），可得\[t_2=\dfrac{a}{2pm},\]而直线 $M_1M_2$ 的方程为\[x-(t_1+t_2)y+2pt_1t_2=0,\]即\[x-\left(\dfrac{a-mb}{b-2pm}+\dfrac{a}{2pm}\right)y+2p\cdot \dfrac{a-mb}{b-2pm}\cdot\dfrac{a}{2pm}=0,\]也即\[2pm(2pm-b)x+(ab-2pm^2b)y-2pa^2+2pmab=0,\]也即\[2p(2px-by)m^2+2pb(a-x)m+a(by-2pa)=0,\]于是直线 $M_1M_2$ 恒过点 $\left(a,\dfrac{2pba}b\right)$．