每日一题[1771]一箭双雕

已知抛物线 $y^2=2px$ 及定点 $A(a,b)$，$B(-a,0)$（$ab\ne 0$，$b^2\ne 2pa$），$M$ 是抛物线上的点，设直线 $AM,BM$ 与抛物线的另一交点分别为 $M_1,M_2$，求证：当点 $M$ 在抛物线上变动时（只要 $M_1,M_2$ 存在且 $M_1\ne M_2$），直线 $M_1M_2$ 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．

答案    定点为 $\left(a,\dfrac{2pa}b\right)$．

解析    设 $M(2pm^2,2pm)$，$M_1(2pt_1^2,2pt_1)$，$M_2(2pt_2^2,2pt_2)$，则

$$MM_1:x-(m+t_1)y+2pmt_1=0,$$ 该直线过点 $A(a,b)$，于是 $$t_1=\dfrac{a-mb}{b-2pm},$$ 类似的（只要将 $b$ 换成 $0$，将 $a$ 换成 $-a$），可得 $$t_2=\dfrac{a}{2pm},$$ 而直线 $M_1M_2$ 的方程为 $$x-(t_1+t_2)y+2pt_1t_2=0,$$ 即 $$x-\left(\dfrac{a-mb}{b-2pm}+\dfrac{a}{2pm}\right)y+2p\cdot \dfrac{a-mb}{b-2pm}\cdot\dfrac{a}{2pm}=0,$$ 也即 $$2pm(2pm-b)x+(ab-2pm^2b)y-2pa^2+2pmab=0,$$ 也即 $$2p(2px-by)m^2+2pb(a-x)m+a(by-2pa)=0,$$ 于是直线 $M_1M_2$ 恒过点 $\left(a,\dfrac{2pba}b\right)$．