每日一题[1771]一箭双雕

已知抛物线 y2=2px 及定点 A(a,b)B(a,0)ab0b22pa),M 是抛物线上的点,设直线 AM,BM 与抛物线的另一交点分别为 M1,M2,求证:当点 M 在抛物线上变动时(只要 M1,M2 存在且 M1M2),直线 M1M2 恒过一个定点,并求出这个定点的坐标.

答案    定点为 (a,2pab)

解析    设 M(2pm2,2pm)M1(2pt21,2pt1)M2(2pt22,2pt2),则MM1:x(m+t1)y+2pmt1=0,该直线过点 A(a,b),于是t1=ambb2pm,类似的(只要将 b 换成 0,将 a 换成 a),可得t2=a2pm,而直线 M1M2 的方程为x(t1+t2)y+2pt1t2=0,x(ambb2pm+a2pm)y+2pambb2pma2pm=0,也即2pm(2pmb)x+(ab2pm2b)y2pa2+2pmab=0,也即2p(2pxby)m2+2pb(ax)m+a(by2pa)=0,于是直线 M1M2 恒过点 (a,2pbab)

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