已知抛物线 y2=2px 及定点 A(a,b),B(−a,0)(ab≠0,b2≠2pa),M 是抛物线上的点,设直线 AM,BM 与抛物线的另一交点分别为 M1,M2,求证:当点 M 在抛物线上变动时(只要 M1,M2 存在且 M1≠M2),直线 M1M2 恒过一个定点,并求出这个定点的坐标.
答案 定点为 (a,2pab).
解析 设 M(2pm2,2pm),M1(2pt21,2pt1),M2(2pt22,2pt2),则MM1:x−(m+t1)y+2pmt1=0,该直线过点 A(a,b),于是t1=a−mbb−2pm,类似的(只要将 b 换成 0,将 a 换成 −a),可得t2=a2pm,而直线 M1M2 的方程为x−(t1+t2)y+2pt1t2=0,即x−(a−mbb−2pm+a2pm)y+2p⋅a−mbb−2pm⋅a2pm=0,也即2pm(2pm−b)x+(ab−2pm2b)y−2pa2+2pmab=0,也即2p(2px−by)m2+2pb(a−x)m+a(by−2pa)=0,于是直线 M1M2 恒过点 (a,2pbab).