每日一题[1765]迭代函数

设 $f(x)=x^2+a$，记 $f^{1}(x)=f(x)$，$f^{n}(x)=f(f^{n-1}(x))$（$n=2,3,\cdots$），$M$ 为使得对任意正整数 $n$ 均有 $\left|f^{(n)}(0)\right|\leqslant 2$ 成立的实数 $a$ 的取值集合．求证：$M=\left[-2,\dfrac 14\right]$．

解析

设 $f(x)$ 为递推数列 $\{a_n\}$ 的迭代函数，$a_1=a$，则 $M$ 是使得数列 $\{a_n\}$ 有界为 $2$ 的数列的实数 $a$ 的取值集合．根据题意，只需要考虑 $a\in [-2,2]$ 的情形．考虑到不动点方程 $x^2+a=x$ 和初值 $a_1=a$，讨论分界点为 $a=0,\dfrac 14$．

情形一   $a\in\left(\dfrac 14,2\right]$．此时由迭代函数法可知数列 $\{a_n\}$ 单调递增，有 $$a_{n+1}-a_n=\left(a_n-\dfrac 12\right)^2+a-\dfrac 14\geqslant a-\dfrac 14,$$ 于是数列 $\{a_n\}$ 无上界，不符合题意．

情形二    $a\in \left[0,\dfrac 14\right]$．此时函数 $f(x)$ 有两个不动点 $x_1,x_2$，满足 $$0<a<x_1<\dfrac 12<x_2,$$ 容易递推证明 $\{a_n\}$ 单调递增有上界 $x_1$，符合题意．

情形三    $a\in [-2,0)$．此时函数 $f(x)$ 有两个不动点 $x_1,x_2$，满足 $$-2\leqslant a<x_2<0<-a<x_1\leqslant 2,$$ 可以递推证明 $$a\leqslant a_n\leqslant -a,$$ 这是因为函数 $f(x)$ 在 $[a,-a]$ 上的最小值为 $a$，且最大值为 $$\max\{f(a),f(-a)\}=a^2+a\leqslant -a,$$ 符合题意． 综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[-2,\dfrac 14\right]$，即 $M=\left[-2,\dfrac 14\right]$．