每日一题[1762]引入参数

求函数 $y=\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}+\sqrt x$ 的最小值和最大值．

答案    最小值为 $3\sqrt 3+\sqrt{13}$，最大值为 $11$．

解析    函数的定义域为 $[0,13]$．因为

$$\begin{split}y&=\sqrt x +\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}\\&=\sqrt{x+27}+\sqrt{13+2\sqrt{x(13-x)}}\\&\geqslant \sqrt{27}+\sqrt{13}\\&=3\sqrt 3 +\sqrt{13},\end{split}$$ 当 $x=0$ 时等号成立，故 $y$ 的最小值为 $3\sqrt 3+\sqrt{13}$． 引入参数，由柯西不等式得 $$\begin{split}y^2&=\left(\sqrt x +\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}\right)^2\\&\leqslant \left(\dfrac 1p +1+\dfrac 1q\right)(px+(x+27)+q(13-x))\\&=\left(\dfrac 1p+1+\dfrac 1q\right)(27+13q+(p+1-q)x),\end{split}$$ 等号当 $p^2x=x+27=q^2(13-x)$ 时取得，令 $$\begin{cases} p+1-q=0,\\ \dfrac{27}{p^2-1}=\dfrac{13q^2-27}{q^2+1},\end{cases}\iff \begin{cases} p=2,\\ q=3,\end{cases}$$ 此时可得当 $x=9$ 时，$y$ 取得最大值为 $11$． 综上所述，题中函数的最小值为 $3\sqrt 3+\sqrt{13}$，最大值为 $11$．