每日一题[1761]转换条件

设直线 $l:y=kx+m$（其中 $k,m$ 为整数）与椭圆 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$ 交于不同两点 $A,B$，与双曲线 $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=1$ 交于不同两点 $C,D$，问是否存在直线 $l$，使得向量 $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=0$，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

答案    $9$条．

解析    题意即弦 $AB$ 的中点与弦 $CD$ 的中点重合，记中点为 $M$．

情形一     $k=0$．此时直线 $l$ 与 $x$ 轴平行，于是 $m^2<12$ 且根据椭圆和双曲线的对称性，必然有弦 $AB$ 的中点与弦 $CD$ 的中点重合，因此 $(k,m)=(0,-3),(0,-2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3)$ 是符合题意的 $7$ 组解．

情形二     $k\ne 0$ 且 $m=0$．此时直线 $l$ 经过坐标原点 $O$，于是 $k^2<3$ 且根据椭圆和双曲线的对称性，必然有弦 $AB$ 的中点与弦 $CD$ 的中点重合，因此 $(k,m)=(-1,0),(1,0)$ 是符合题意的 $2$ 组解．

情形三     $k\ne 0$ 且 $m\ne 0$．此时根据椭圆和双曲线垂径定理，直线 $OM,AB,CD$ 的斜率 $k_{OM},k_{AB},k_{CD}$ 满足

$$\begin{cases} k_{AB}\cdot k_{OM}=-\dfrac 34,\\ k_{CD}\cdot k_{OM}= 3,\end{cases}$$ 这与 $k_{AB}=k_{CD}$ 矛盾，因此不存在符合题意的解．

综上所述，符合题意的直线共有 $9$ 条．