每日一题[1760]层峦叠嶂

一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前 $100$ 个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是_______（可以用指数表示）．

答案    $101\cdot 2^{98}$．

解析    根据题意，该数表一共有 $100$ 行，且每一行均为等差数列（这里将 $1$ 个及 $2$ 个数也看作等差数列），公差（$2$ 个数构成的等差数列的公差认为是第二个数与第一个数的差）依次为 $d_i$（$i=1,2,\cdots,99$），则 $d_i=2^{i-1}$．设每一行的第一个数为 $a_n$，则 $a_1=1$，且当 $n\geqslant 2$ 时，有

$$a_n=2a_{n-1}+2^{n-2}\implies \dfrac{a_n}{2^n}=\dfrac{a_{n-1}}{2^{n-1}}+\dfrac 12,$$ 结合 $a_1=1$，可得 $$a_n=(n+1)2^{n-2}\implies a_{100}=101\cdot 2^{98}.$$