每日一题[132] 分段函数的单调性

这是2013年北京市春季普通高中会考试题：

已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$满足：

① $f(x)$的一个零点为$2$；

② $f(x)$的最大值为$1$；

③ 对任意实数$x$都有$f(x+1)=f(1-x)$．

（1）求$f(x)$的解析式；

（2）设函数$g(x)=\begin{cases}x,&x\in A,\\f(x),&x\in B\end{cases}$是定义域为$(0,1)$的单调递增函数，$0<x_0<x'<1$．当$x_0\in B$时，证明：$x'\in B$．

解析    第1小问的答案是$f(x)=-x^2+2x$．

问题的关键在于第2小问．

法一

如图，设$x_n=f\left(x_{n-1}\right)$，其中$n=1,2,\cdots$．于是由$x_0\in B$，$g(x)$单调递增可知区间$\left[x_0,x_1\right]$一定包含于$B$．（若不然，设$t\in\left[x_0,x_1\right]$且$t\in A$，则 $$g(t)=t<x_1=f\left(x_0\right)=g\left(x_0\right),$$ 矛盾．）

同理可得区间 $$\left[x_1,x_2\right],\cdots,\left[x_{n-1},x_n\right],\cdots$$ 均包含于$B$．因此只需要证明存在某个$x_i(i\in\mathcal N^*)$比$x'$大即可．事实上，由 $$x_n=f\left(x_{n-1}\right)=2x_{n-1}-x_{n-1}^2,$$ 可得 $$\begin{split}1-x_n&=\left(1-x_{n-1}\right)^2\\&\leqslant \left(1-x_0\right)\cdot\left(1-x_{n-1}\right)\\&\leqslant\left(1-x_0\right)^2\cdot\left(1-x_{n-2}\right)\\&\leqslant \cdots\\&\leqslant \left(1-x_0\right)^n,\end{split}$$ 考虑到$0<1-x_0<1$，因此当$N=\left[{\log_{1-x_0}}{\left(1-x'\right)}\right]+1$时，必然有 $$1-x_N\leqslant\left(1-x_0\right)^N<1-x',$$ 从而有 $$x_N>x',$$ 因此命题得证．

法二

用反证法，设$x'\in A$，那么对任意$0<\delta<x'-x_0$，在区间$\left[x_0,x'\right]$上必然存在某个长度小于$\delta$的子区间$\left[t,t+\varepsilon\right]$满足$t\in B$且$t+\varepsilon\in A$．（只要需要将区间$\left[x_0,x'\right]$平均分为$N$份，其中$N=\left[\dfrac{x'-x_0}{\delta}\right]+1$，然后逐一考察每个子区间即可．）

于是考虑 $$\begin{split}g\left(t+\varepsilon\right)-g(t)&=t+\varepsilon-\left(2t-t^2\right)\\&=\left(t^2-t\right)+\varepsilon\\&\leqslant \max\left\{x_0^2-x_0,x'^2-x'\right\}+\varepsilon,\end{split}$$ 此时只需要取 $$\delta=-\dfrac 12\max\left\{x_0^2-x_0,x'^2-x'\right\}$$ 就可以使得 $$g\left(t+\varepsilon\right)-g(t)<0,$$ 与$g(x)$在$[0,1]$上单调递增矛盾．

因此$x'\in B$，原命题得证．