这是2013年北京市春季普通高中会考试题：
已知函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)满足：
① \(f(x)\)的一个零点为\(2\)；
② \(f(x)\)的最大值为\(1\)；
③ 对任意实数\(x\)都有\(f(x+1)=f(1-x)\)．
（1）求\(f(x)\)的解析式；
（2）设函数\(g(x)=\begin{cases}x,&x\in A,\\f(x),&x\in B\end{cases}\)是定义域为\((0,1)\)的单调递增函数，\(0<x_0<x'<1\)．当\(x_0\in B\)时，证明：\(x'\in B\)．
解析 第1小问的答案是\(f(x)=-x^2+2x\)．
问题的关键在于第2小问．
法一
如图，设\(x_n=f\left(x_{n-1}\right)\)，其中\(n=1,2,\cdots\)．于是由\(x_0\in B\)，\(g(x)\)单调递增可知区间\(\left[x_0,x_1\right]\)一定包含于\(B\)．（若不然，设\(t\in\left[x_0,x_1\right]\)且\(t\in A\)，则\[g(t)=t<x_1=f\left(x_0\right)=g\left(x_0\right),\]矛盾．）
同理可得区间\[\left[x_1,x_2\right],\cdots,\left[x_{n-1},x_n\right],\cdots\]均包含于\(B\)．因此只需要证明存在某个\(x_i(i\in\mathcal N^*)\)比\(x'\)大即可．事实上，由\[x_n=f\left(x_{n-1}\right)=2x_{n-1}-x_{n-1}^2,\]可得\[\begin{split}1-x_n&=\left(1-x_{n-1}\right)^2\\&\leqslant \left(1-x_0\right)\cdot\left(1-x_{n-1}\right)\\&\leqslant\left(1-x_0\right)^2\cdot\left(1-x_{n-2}\right)\\&\leqslant \cdots\\&\leqslant \left(1-x_0\right)^n,\end{split}\]考虑到\(0<1-x_0<1\)，因此当\(N=\left[{\log_{1-x_0}}{\left(1-x'\right)}\right]+1\)时，必然有\[1-x_N\leqslant\left(1-x_0\right)^N<1-x',\]从而有\[x_N>x',\]因此命题得证．
法二
用反证法，设\(x'\in A\)，那么对任意\(0<\delta<x'-x_0\)，在区间\(\left[x_0,x'\right]\)上必然存在某个长度小于\(\delta\)的子区间\(\left[t,t+\varepsilon\right]\)满足\(t\in B\)且\(t+\varepsilon\in A\)．（只要需要将区间\(\left[x_0,x'\right]\)平均分为\(N\)份，其中\(N=\left[\dfrac{x'-x_0}{\delta}\right]+1\)，然后逐一考察每个子区间即可．）
于是考虑\[\begin{split}g\left(t+\varepsilon\right)-g(t)&=t+\varepsilon-\left(2t-t^2\right)\\&=\left(t^2-t\right)+\varepsilon\\&\leqslant \max\left\{x_0^2-x_0,x'^2-x'\right\}+\varepsilon,\end{split}\]此时只需要取\[\delta=-\dfrac 12\max\left\{x_0^2-x_0,x'^2-x'\right\}\]就可以使得\[g\left(t+\varepsilon\right)-g(t)<0,\]与\(g(x)\)在\([0,1]\)上单调递增矛盾．
因此\(x'\in B\)，原命题得证．