若\(f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)\)，其中\(a\leqslant b\leqslant c\)，对于下列结论：
① \(f(b)\leqslant 0\)；
② 若\(b=\dfrac{a+c}2\)，则\(\forall x\in\mathcal R,f(x)\geqslant f(b)\)；
③ 若\(b\leqslant \dfrac{a+c}2\)，则\(f(a)\leqslant f(c)\)；
④ \(f(a)=f(c)\)成立的充要条件为\(b=0\)．
其中正确的是_______．
正确答案是①②③．
注意到\[f(x)=\left[(x-a)(x-b)(x-c)\right]',\]于是\(f(b)\)即函数\[F(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\]在\(x=b\)处的切线斜率，结合三次函数图象的对称性易得．
例如对于②，根据三次函数图象的对称性，\((b,0)\)为对称中心，于是命题正确，如图：
再比如对于③，根据三次函数图象的对称性，若\(b<\dfrac{a+c}{2}\)，则对称中心必然在\(x\)轴下方．过对称中心作\(x\)轴的平行线，于三次函数图象交于除对称中心以外的两点，设该两点的横坐标分别为\(a',c'(a'<c')\)，则\[F'(a)<F'(a')=F'(c')<F'(c),\]因此命题正确．如图：
留一个高考题作为练习．
（2013年·重庆）若\(a<b<c\)，则函数\[f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)\]的两个零点分别位于区间（ ）
A．\((a,b)\)和\((b,c)\)内
B．\((-\infty,a)\)和\((a,b)\)
C．\((b,c)\)和\((c,+\infty)\)
D．\((-\infty,a)\)和\((c,+\infty)\)
正确的答案是A．