每日一题[1753]构造图形

设 $\alpha,\beta,\gamma$ 满足 $0<\alpha<\beta<\gamma<2\pi$，若对于任意 $x\in\mathbb R$，$\cos (x+\alpha)+\cos(x+\beta)+\cos(x+\gamma)=0$，则 $\gamma -\alpha=$_______．

答案    $\dfrac{4\pi}3$．

解析    取 $x=0,\dfrac{\pi}2$，可得

$$\begin{cases} \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=0,\\ \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma =0,\end{cases}$$ 设 $A(\alpha:1)$，$B(\beta:1)$，$C(\gamma:1)$，则 $\triangle ABC$ 的外接圆圆心和重心重合，因此 $\triangle ABC$ 为正三角形，进而 $\gamma-\alpha=\dfrac{4\pi}3$．