每日一题[1751]引参化常

设非负实数 $x,y$ 满足 $3x+y=1$．则 $x+\sqrt{x^2+y^2}$ 的最小值为_______．

答案    $\dfrac35$．

解析    引入参数 $\theta$，由柯西不等式，有

$$x+\sqrt{x^2+y^2}\geqslant x+x\cos \theta x+y\sin\theta,$$ 令 $\dfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta}=3$，解得 $\cos\theta=\dfrac 45$，因此 $$x+\sqrt{x^2+y^2}\geqslant \dfrac 35(3x+y)=\dfrac 35,$$ 所求最小值为 $\dfrac 35$．