每日一题[1750]对勾换元

已知函数 $y=3x+\sqrt{x^2-2x}$，求该函数的值域．

答案    $\left(-\infty,3-2\sqrt{2}\right]\cup\left[6,+\infty\right)$．

解析    根据题意，有

$$y=3(x-1)+\sqrt{(x-1)^2-1}+3,$$ 令 $x-1=\dfrac 12\left(t+\dfrac 1t\right)$，其中 $t\in [-1,1]\setminus \{0\}$，则 $$y=\begin{cases} t+\dfrac 2t+3,&0<t\leqslant 1,\\ -2t+\dfrac 1t+3,&-1\leqslant t<0,\end{cases}$$ 因此该函数的值域为 $\left(-\infty,3-2\sqrt{2}\right]\cup\left[6,+\infty\right)$．