每日一题[1745]整数判断

已知 $a_n=\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^n\cdot (\sqrt[3]6)^{200-n}\cdot \left(\dfrac 1{\sqrt 2}\right)^n$（$n=1,2,\cdots ,95$），则数列 $\{a_n\}$ 中整数项的个数为_______．

答案    $15$．

解析    由条件知

$$a_n=\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^n\cdot 3^{\frac{200-n}{3}}\cdot 2^{\frac{400-5n}{6}}.$$ 要使 $a_n$（$n=1,2,\cdots,95$）为整数，必有 $\dfrac{200-n}{3},\dfrac{400-5n}{6}$ 均为整数，从而 $$6\mid n+4.$$

情形一    当 $n=2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80$ 时，$\dfrac{200-n}{3}$ 和 $\dfrac{400-5n}{6}$ 均为非负整数，所以 $a_n$ 为整数，共有 $14$ 个．

情形二     当 $n=86$ 时，

$$a_{86}=\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^{86}\cdot 3^{38}\cdot 2^{-5},$$ 在 $\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^{86}=\dfrac{200!}{86!\cdot 114!}$ 中，$200!$ 中因数 $2$ 的个数为 $$\left[\dfrac{200}{2}\right]+\left[\dfrac{200}{2^2}\right]+\left[\dfrac{200}{2^3}\right]+\left[\dfrac{200}{2^4}\right]+\left[\dfrac{200}{2^5}\right]+\left[\dfrac{200}{2^6}\right]+\left[\dfrac{200}{2^7}\right]=197,$$ 同理可计算得 $86!$ 中因数 $2$ 的个数为 $82$，$114!$ 中因数 $2$ 的个数为 $110$，所以 $\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^{86}$ 中因数 $2$ 的个数为 $$197-82-110=5,$$ 故 $a_{86}$ 是整数．

情形三     当 $n=92$ 时，

$$a_{92}=\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^{92}\cdot 3^{36}\cdot 2^{-10},$$ 在 $\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^{92}=\dfrac{200!}{92!\cdot 108!}$ 中，同样可求得 $92!$ 中因数 $2$ 的个数为 $88$，$108!$ 中因数 $2$ 的个数为 $105$，故 $\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^{86}$ 中因数 $2$ 的个数为 $$197-88-105=4,$$ 故 $a_{92}$ 不是整数． 因此，整数项的个数为 $14+1=15$．