设实数 $x,y$ 满足 $x^3+27y^3+9xy=1$，则（ ）
A．$x^3y$ 的最大值为 $\dfrac 13$
B．$x^3y$ 的最大值为 $\dfrac{27}{64}$
C．$x^3y$ 的最小值为 $-\dfrac{\sqrt 3}3$
D．$x^3y$ 无最小值
答案 AD．
解析 根据题意，有\[x^3+(3y)^3+(-1)^3=3\cdot x\cdot 3y\cdot (-1),\]因此有\[(x+3y-1)(x^2+9y^2+x+3y-3xy+1)=0\iff x+3y=1\lor x=3y=-1.\]当 $x=3y=-1$ 时，$x^3y=\dfrac 13$．当 $x+3y=1$ 时，有\[x^3y=\dfrac{x^3(1-x)}3,\]设右侧函数为 $f(x)$，则\[f'(x)=\dfrac{x^2(3-4x)}3,\]于是\[\begin{array} {c|ccc}\hline x&-\infty&\left(-\infty,\dfrac 34\right)&\dfrac 34&\left(\dfrac 34,+\infty\right)&+\infty\\ \hline f(x)&-\infty&\nearrow&\dfrac9{256}&\searrow &-\infty\\ \hline \end{array}\] 因此函数 $f(x)$ 没有最小值，最大值为 $\dfrac9{256}$． 综上所述，$x^3y$ 的最大值为 $\dfrac 13$，没有最小值．