每日一题[1735]轮换式分解

设实数 $x,y$ 满足 $x^3+27y^3+9xy=1$，则（       ）

A．$x^3y$ 的最大值为 $\dfrac 13$

B．$x^3y$ 的最大值为 $\dfrac{27}{64}$

C．$x^3y$ 的最小值为 $-\dfrac{\sqrt 3}3$

D．$x^3y$ 无最小值

答案    AD．

解析    根据题意，有

$$x^3+(3y)^3+(-1)^3=3\cdot x\cdot 3y\cdot (-1),$$ 因此有 $$(x+3y-1)(x^2+9y^2+x+3y-3xy+1)=0\iff x+3y=1\lor x=3y=-1.$$ 当 $x=3y=-1$ 时，$x^3y=\dfrac 13$．当 $x+3y=1$ 时，有 $$x^3y=\dfrac{x^3(1-x)}3,$$ 设右侧函数为 $f(x)$，则 $$f'(x)=\dfrac{x^2(3-4x)}3,$$ 于是 $$\begin{array} {c|ccc}\hline x&-\infty&\left(-\infty,\dfrac 34\right)&\dfrac 34&\left(\dfrac 34,+\infty\right)&+\infty\\ \hline f(x)&-\infty&\nearrow&\dfrac9{256}&\searrow &-\infty\\ \hline \end{array}$$ 因此函数 $f(x)$ 没有最小值，最大值为 $\dfrac9{256}$． 综上所述，$x^3y$ 的最大值为 $\dfrac 13$，没有最小值．