每日一题[1732]引入参数

设正数 $a,b$ 满足 $ab(a+8b)=20$，则 $a+3b$ 的最小值为（       ）

A．$4$

B．$5$

C．$\sqrt[3]{60}$

D．$\dfrac{4\sqrt[3]{60}}{3}$

答案    $5$．

解析    根据题意，引入参数，有

$$\begin{split} 20\lambda\mu&=a\cdot \lambda b\cdot \mu(a+8b)\\ &\leqslant \left(\dfrac{a+\lambda b+\mu(a+8b)}3\right)^3\\ &=\left(\dfrac{1+\mu}3a+\dfrac{\lambda+8\mu}3b\right)^3,\end{split}$$ 由 $$\begin{cases} a=\lambda b=\mu (a+8b),\\ \dfrac{1+\mu}3:\dfrac{\lambda+8\mu}3=1:3,\end{cases} \implies \begin{cases} \lambda = \mu(\lambda+8),\\ \lambda+5\mu=3,\end{cases}\iff \begin{cases} \lambda =2,\\ \mu=\dfrac 15,\end{cases}$$ 因此可得 $$8\leqslant \left(\dfrac 25(a+3b)\right)^3\implies a+3b\geqslant 5,$$ 等号当 $(a,b)=(2,1)$ 时取得，因此所求代数式的最小值为 $5$．