每日一题[1731]抓基本量

设等差数列 $\{a_n\}$ 的各项均为整数，首项 $a_1=2019$ ，且对任意正整数 $n$ ，总存在正整数 $m$ ，使得 $a_1+a_2+\cdots+a_n=a_m$ ．这样的数列 $\{a_n\}$ 的个数为_______．

答案 $5$ ．

解析设 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$ ，且 $a_1+a_2=a_k$ ，则

2 a_{1} + d = a_{1} + (k - 1) d ⟹ a_{1} = (k - 2) d,

$2a_1+d=a_1+(k-1)d\implies a_1=(k-2)d,$ 于是

a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = n a_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} d = a_{1} + (n - 1) (k - 2) d + \frac{n (n - 1)}{2} d,

$a_1+a_2+\cdots+a_n=na_1+\dfrac{n(n-1)}2d=a_1+(n-1)(k-2)d+\dfrac{n(n-1)}2d,$ 因此只需要考虑使得

k - 2 ∣ a_{1}

$k-2\mid a_1$ 的正整数

k

$k$ 的个数，而

a_{1} = 3 \cdot 673

$a_1=3\cdot 673$ ，从而

k - 2

$k-2$ 可以取

- 1, 1, 3, 673, 2019

$-1,1,3,673,2019$ ，有

5

$5$ 个取值．

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