每日一题[1728]加强韦达定理

点 $F$ 为双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的焦点，过点 $F$ 的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点 $A$，与另一条渐近线交于点 $B$．若 $3\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BF}=0$，则双曲线 $C$ 的离心率是（       ）

A．$\dfrac{\sqrt5}{2}$

B．$\dfrac{\sqrt6}{2}$

C．$\sqrt3$

D．$\sqrt6$

答案    B．

解析    不妨设题中过点 $F$ 的直线为 $x=\dfrac bay+c$，双曲线的渐近线方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=0$，联立可得

$$\left(\dfrac{b^2}{a^4}-\dfrac1{b^2}\right)y^2+\dfrac{2bc}{a^3}y+c^2=0,$$ 根据韦达定理，可得 $$\left(\dfrac{2bc}{a^3}\right)^2=\left(-3-\dfrac 13+2\right)\left(\dfrac{b^2}{a^4}-\dfrac1{b^2}\right)c^2,$$ 不妨设 $a=1$，则 $c=e$，$b=\sqrt{e^2-1}$，整理化简可得 $$4e^4-8e^2+3=0,$$ 解得 $e=\dfrac{\sqrt 6}2$．