每日一题[1715]焦点三角形

设 $P$ 为椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 上一点，$F_1,F_2$ 为椭圆的左、右焦点，$I$ 为 $\triangle PF_1F_2$ 的内心，若 $\triangle PF_1F_2$ 的内切圆半径为 $1$，则 $|IP|=$（       ）

A．$\sqrt 3$

B．$2$

C．$\sqrt 5$

D．以上答案都不对

答案    C．

解析    根据题意，$\triangle PF_1F_2$ 的周长为 $16$，而其内切圆半径为 $1$，因此 $\triangle PF_1F_2$ 的面积为 $8$．根据椭圆的焦点三角形面积公式，有

$$16\tan\dfrac{\angle F_1PF_2}2=8\implies \tan\dfrac{\angle F_1PF_2}2=\dfrac 12,$$ 因此 $$|IP|=\dfrac{1}{\sin\dfrac{\angle F_1PF_2}2}=\sqrt 5.$$