每日一题[1712]周期数列

数列 $\{a_n\}$ 是 $7^n$ 的末两位数之和，则 $a_1+a_2+\cdots+a_{2019}=$ _______．

答案    $14139$．

解析    根据题意，有

$$\begin{array} {c|ccccc}\hline n&1&2&3&4&5\\ \hline\\ 7^n&7&49&343&\overline{\cdots 01}&\overline{\cdots 07}\\ \hline\end{array}$$ 因此 $\{a_n\}$ 是周期为 $4$ 的数列，且 $$a_1+a_2+\cdots+a_{2019}=504(7+13+7+1)+7+13+7=14139.$$