每日一题[1689]降次

求值：$\cos^4\dfrac{\mathrm \pi}{8}+\cos^4\dfrac{3\mathrm \pi}{8}+\cos^4\dfrac{5\mathrm \pi}{8}+\cos^4\dfrac{7\mathrm \pi}{8}$．

答案    $\dfrac 32$．

解析    设原式的值为 $m$，由于 $$\cos^4\theta=\left(\dfrac{{\rm e}^{{\rm i}\theta}+{\rm e}^{-{\rm i}\theta}}2\right)^4=\dfrac{\cos4\theta+4\cos2\theta+6}{16},$$ 可得 $m=\dfrac 32$．