每日一题[1688]数值估计

设 $a=\sin 15^\circ+\cos 15^\circ$，$b=\sin 16^\circ+\cos 16^\circ$，则下列各式正确的是（       ）

A．$a<\dfrac {a^2+b^2}2<b$

B．$a<b<\dfrac {a^2+b^2}2$

C．$b<a<\dfrac {a^2+b^2}2$

D．$b<\dfrac {a^2+b^2}2<a$

答案    B．

解析    根据题意，有 $a=\sqrt 2\sin 60^\circ$，$b=\sqrt 2\sin 61^\circ$，于是

$$\sqrt{\dfrac 32}=a<b\implies \dfrac 32<\dfrac{a^2+b^2}2,$$ 因此 $$a<b<\sqrt 2<\dfrac 32<\dfrac{a^2+b^2}2.$$