每日一题[1685]递推概率

甲、乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下，规定谁先掷出正面朝上为赢；前一场的输者，则下一场先掷．若第一场甲先掷，则甲赢得第 $n$ 场的概率为_______．

答案    $\dfrac1 2+\dfrac 1 6\left(-\dfrac1 3\right)^{n-1}$．

解析    在每一场，设先掷的人获胜的概率为 $p$，则

$$p=\dfrac 12+\dfrac 12 \cdot \dfrac 12\cdot p\implies p=\dfrac 23.$$ 设甲赢得第 $n$ 场的概率为 $p_n$，则乙赢得第 $n$ 场的概率为 $1-p_n$，于是 $$p_{n+1}=p_n\cdot (1-p)+(1-p_n)\cdot p=-\dfrac 13p_n+\dfrac 23,$$ 根据不动点法可得 $$p_n=\dfrac 16\cdot\left(-\dfrac 13\right)^{n-1}+\dfrac 12,n\in\mathbb N^{\ast}.$$