每日一题[1676]递推公式

给定实数 $a$ 和正整数 $n$．

1、求证：存在唯一的实数数列 $x_0,x_1,\cdots ,x_{n+1}$ 满足：

① $x_0=x_{n+1}=0$；

② $\dfrac 1 2(x_{i+1}+x_{i-1})=x_i+x_i^3-a^3$（$i=1,2,\cdots,n$）．

2、求证：$(1)$ 中的数列 $x_0,x_1,\cdots ,x_{n+1}$ 满足 $|x_i|\leqslant |a|$．

解析

1、存在性    根据题意，有 $$x_{i+1}=2x_i+2x_i^3-2a^3-x_{i-1},$$ 又 $x_0=0$，因此 $x_i$ 是 $x_1$ 的 $3^{i-1}$ 次实系数多项式，从而 $x_{n+1}$ 为 $x_1$ 的 $3^n$ 次实系数多项式．由于 $3^n$ 为奇数，故存在 $x_1=\alpha$，使得 $x_{n+1}=0$，由此 $x_1=\alpha$ 及 $x_0=0$ 即可求出 $x_i$（$i=2,3,\cdots,n$），如此得到的数列 $x_0,x_1,\cdots ,x_{n+1}$ 满足题设条件．

唯一性    设 $\omega_0,\omega_1,\cdots \omega_{n+1}$ 以及 $\nu_0,\nu_1,\cdots ,\nu_{n+1}$ 均为满足条件的数列，则 $$\begin{cases} \dfrac 1 2(\omega_{i+1}+\omega_{i-1})=\omega_i+\omega_i^3-a^3,\\ \dfrac 1 2(\nu_{i+1}+\nu_{i-1})=\nu_i+\nu_i^3-a^3,\end{cases}$$ 所以 $$\dfrac 1 2(\omega_{i+1}-\nu_{i+1}+\omega_{i-1}-\nu_{i-1})=(\omega_i-\nu_i)(1+\omega_i^2+\omega_i\nu_i+\nu_i^2),$$ 设 $|\omega_{i_0}-\nu_{i_0}|$ 最大，则 $$\begin{split} |\omega_{i_0}-\nu_{i_0}|&\leqslant |\omega_{i_0}-\nu_{i_0}|(1+\omega_{i_0}^2+\omega_{i_0}\nu_{i_0}+\nu_{i_0}^2)\\ &=\left|\dfrac 12(\omega_{i+1}-\nu_{i+1}+\omega_{i-1}-\nu_{i-1})\right|\\ &\leqslant \dfrac 12|\omega_{i_0+1}-\nu_{i_0+1}|+\dfrac 1 2|\omega_{i_0-1}-\nu_{i_0-1}|\\ &\leqslant |\omega_{i_0}-\nu_{i_0}|,\end{split}$$ 所以 $|\omega_{i_0}-\nu_{i_0}|=0$，进而 $$|\omega_i-\nu_i|=0,i=1,2,\cdots,n$$ 唯一性得证．

2、设 $|x_{i_0}|$ 最大，则 $$\begin{split} |x_{i_0}|+|x_{i_0}|^3&=|x_{i_0}|(1+x_{i_0}^2)\\ &=\left|\dfrac 1 2(x_{i_0+1}+x_{i_0-1})+a^3\right|\\ &\leqslant \dfrac 1 2|x_{i_0+1}|+\dfrac 1 2|x_{i_0-1}|+|a^3|\\ &\leqslant |x_{i_0}|+|a|^3,\end{split}$$ 因此 $|x_{i0}|\leqslant |a|$，所以 $$|x_i|\leqslant |a|,i=0,1,2,\cdots ,n+1,$$ 命题得证．