每日一题[1675]递推构造

求证存在无穷多个正整数 $n$，使得可 $1,2,\cdots,3n$ 列成数表

$$\begin{matrix}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {b_{1}} & {b_{2}} & {\cdots} & {b_{n}} \\ {c_{1}} & {c_{2}} & {\cdots} & {c_{n}}\end{matrix}$$ 满足如下两个条件：

① $a_{1}+b_{1}+c_{1}=a_{2}+b_{2}+c_{2}=\cdots=a_{n}+b_{n}+c_{n}$ 且为 $6$ 的倍数；

② $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}=c_{1}+c_{2}+\cdots+c_{n}$ 且为 $6$ 的倍数．

解析

根据题意，有

$$\begin{cases} 6 n \mid \dfrac{1}{2}(3 n)(3 n+1),\\ 18 \mid \dfrac{1}{2}(3 n)(3 n+1),\end{cases}\iff \begin{cases} n\equiv 1\pmod 4,\\ n\equiv 1\pmod 3,\end{cases} \iff n\equiv 9\pmod{12}.$$ 下面 $A_i$ 中第 $1,2,3$ 行分别记为 $\alpha(i),\beta(i),\gamma(i)$，且 $\alpha(i)+k$ 表示将 $\alpha(i)$ 中每个数都加上 $k$，其他类似．

递推基础    先构造 $A_{9}$ 满足条件：设

$$A_{3}=\left( \begin{array}{ccc}{1} & {8} & {6} \\ {5} & {3} & {7} \\ {9} & {4} & {2}\end{array}\right)$$ 显然各行各列之和均为 $15$，令 $$A_{9}=\left( \begin{array}{ccc}{\alpha(3)+0} & {\beta(3)+18} & {\gamma(3)+9} \\ {\beta(3)+9} & {\gamma(3)+0} & {\alpha(3)+18} \\ {\gamma(3)+18} & {\alpha(3)+9} & {\beta(3)+0}\end{array}\right)$$ 易知 $A_g$ 中的 $27$ 个元素为 $1,2,\dots,27$，并且各列之和为 $$15+9+18=42\equiv 0\pmod 6,$$ 各行之和为 $$3(15+9+18)=126\equiv 0\pmod 6,$$ 所以 $9$ 是满足条件的正整数．

递推构造    设 $m$ 满足条件，且形成的数表（矩阵）为 $A_m$，各行之和为 $6u$，各列之和为 $6v$，构造 $A_{3 m}$ 如下：

$$A_{3 m}=\left( \begin{array}{ccc}{\alpha(m)+0m} & {\beta(m)+6 m} & {\gamma(m)+3 m} \\ {\beta(m)+3 m} & {\gamma(m)+0m} & {\alpha(m)+6 m} \\ {\gamma(m)+6 m} & {\alpha(m)+3 m} & {\beta(m)+0m}\end{array}\right)$$ 则 $A_3m$ 中 $9m$ 个元素为 $1,2,\dots,9m$，并且各行之和为 $18 u+9 m^{2}$，各列之和为 $6v+9m$． 构造 $A_{9m}$ 如下： $$A_{9 m}=\left( \begin{array}{ccc}{\alpha(3 m)} & {\beta(3 m)+18 m} & {\gamma(3 m)+9 m} \\ {\beta(3 m)+9 m} & {\gamma(3 m)} & {\alpha(3 m)+18 m} \\ {\gamma(3 m)+18 m} & {\alpha(3 m)+9 m} & {\beta(3 m)}\end{array}\right)$$ 则 $A_{9m}$ 中 $27m$ 个元素为 $1,2,\dots,27m$，并且各行之和为 $$54 u+108 m^{2} \equiv 0\pmod 6,$$ 各列之和为 $$6 v+36 m \equiv 0\pmod 6,$$ 因此 $9m$ 也是满足条件的正整数，由归纳法不难证明任何形如 $9^k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）的数都是满足条件的正整数，有无穷多个．