每日一题[1671]共线表达

$\triangle ABC$ 中，$M,N$ 分别是边 $AB,AC$ 上的点，且满足 $\dfrac {BM}{MA} + \dfrac{CN}{NA}=1$．证明：线段 $MN$ 经过 $\triangle ABC$ 的重心．

解析    设 $\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}$，则

$$\dfrac{BM}{MA}+\dfrac{CN}{NA}=1\implies \dfrac{1-\lambda}{\lambda}+\dfrac{AC-AN}{AN}=1\implies \dfrac{AN}{AC}=\dfrac{\lambda}{3\lambda-1},$$ 因此 $$\overrightarrow{AN}=\dfrac{\lambda}{3\lambda-1}\overrightarrow{AC},$$ 又 $\triangle ABC$ 的重心 $G$ 满足 $$\overrightarrow{AG}=\dfrac 13\overrightarrow{AB}+\dfrac 13\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{3\lambda}\cdot \lambda\overrightarrow{AB}+\left(1-\dfrac{1}{3\lambda}\right)\cdot \dfrac{\lambda}{3\lambda-1}\overrightarrow{AC},$$ 因此线段 $MN$ 经过 $\triangle ABC$ 的重心．