与正四面体 $4$ 个顶点距离之比为 $1:1:1: \sqrt 2$ 的平面共有_______个．
答案 $32$．
解析 设 $A,B,C$ 到平面 $\alpha$ 的距离均为 $1$，$D$ 到平面 $\alpha$ 的距离为 $\sqrt 2$．若 $A,B,C$ 位于平面 $\alpha$ 的同侧，对应的 $\alpha$ 有 $2$ 个；若 $A,B,C$ 位于平面 $\alpha$ 的两侧，对应的 $\alpha$ 有 $6$ 个．最后考虑对称性，所求的平面有 $4\cdot (2+6)=32$ 个．