每日一题[1651]左右互搏

设 $S$ 是至少含有两个元素的集合，在 $S$ 上定义了一个二元运算 $\ast$（即对任意的 $a,b\in S$，对于有序元素对 $(a,b)$，在 $S$ 中有唯一确定的元素 $a\ast b$ 与之对应），若对任意的 $a,b\in S$，有 $a*(b*a)=b$，则对任意的 $a,b\in S$，下列式子中无法推断其恒成立的是（       ）

A．$(a*b)*a=a$

B．$(a*(b*a))*(a*b)=a$

C．$b*(b*b)=b$

D．$(a*b)*(b*(a*b)))=b$

答案    A．

解析    根据题意，题意是右乘一个数，再左乘一个相同的数，得到本身．进而有

$$\forall a,b\in S,(b*a)*(a*(b*a))=(b*a)*b,$$ 于是 $$\forall a,b\in S,a=(b*a)*b.$$ 于是 $$\begin{split} (a*(b*a))*(a*b)&=b*(a*b)=a,\\ b*(b*b)&=b,\\ (a*b)*(b*(a*b)))&=(a*b)*a=b,\end{split}$$ 接下来研究选项 A，我们已经知道 $(a*b)*a=b$，于是当 $a\ne b$ 时，必然有 $(a*b)*a\ne a$．