每日一题[1640]定义与焦半径

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$F_1,F_2$ 分别是双曲线 $x^2-\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$b>0$）的左、右焦点，过点 $F_1$ 作圆 $x^2+y^2=1$ 的切线，与双曲线左、右两支分别交于 $A,B$．若 $|F_2B|=|AB|$，则 $b$ 的值是_______．

答案    $1+\sqrt 3$．

解析    记双曲线的半焦距为 $c$，根据双曲线的焦半径公式 $\tt II$，有

$$|AF_1|=\dfrac{b^2}{c\cdot \dfrac bc+1},$$ 又根据双曲线的定义，有 $$|AF_1|=|BF_1|-|BA|=|BF_1|-|BF_2|=2,$$ 于是 $$\dfrac{b^2}{b+1}=2\implies b=1+\sqrt 3.$$